Spis treści1. Co to jest granica funkcji? Definicja Heinego Definicja Cauchy'ego granicy2. Jak liczyć granice funkcji? Własności granic funkcji - reguły Granice funkcji - wzory3. Granice Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?4. Twierdzenie o trzech funkcjach5. Jak liczyć granice niewłaściwe? Twierdzenie o dwóch funkcjach6. Symbole Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?7. Reguła de L' Jak przekształcać symbole nieoznaczone?8. Jak liczyć granice funkcji w kalkulatorze Podsumowanie - zasady ułatwiające liczenie granic funkcji10. Sprawdź swoją wiedzę o graniach funkcji - zadania kontrolne1. Co to jest granica funkcji?Granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) (mówi się też, gdy \(x\) dąży do \(x_0\) lub przy \(x\) dążącym do \(x_0\)) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]lub\[f(x)\to g,\,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,x\to x_0\]gdzie \(g\) jest wynikiem granicy, który może:1. być jakąś liczbą rzeczywistą, np. \(g=-5\frac{1}{3}\), \(g=0\) itp. - taką granicę nazywa się granicą właściwąPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}x^2=0\]2. być nieskończonością, czyli \(g=-\infty\) lub \(g=+\infty\) - taką granicę nazywa się niewłaściwąPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]3. wogóle nie istniećPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\,\,-\,\,\textrm{nie istnieje}\]Pamiętaj, że możliwe są tylko 3 przypadki omówione granica właściwa funkcji to taka wartość \(g\) (liczba), że gdy \(x\) jest bardzo blisko wartości \(x_0\) (a nawet \(x=x_0\), gdy punkt \(x_0\) należy do dziedziny funkcji), to wartość funkcji w punkcie x, czyli \(f(x)\) jest bardzo blisko wartości \(g\) (a nawet \(f(x_0)=g\), gdy funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\)).Granica niewłaściwa (czyli \(-\infty\) lub \(+\infty\)) występuje wtedy, gdy dla argumentów w pobliżu punktu \(x_0\) (czyli \(x\to x_0\)) wartości funkcji są dowolnie duże w przypadku granicy równej \(+\infty\) (czyli \(f(x)\to +\infty\)) lub dowolnie małe w przypadku granicy równej \(-\infty\) (czyli \(f(x)\to -\infty\)).Przykład 1Weźmy bardzo prostą granicę funkcji \(f(x)=x\), przy x dążącym do zera, czyli \(x\to 0\). Taka granica jest równa zero: \[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]ponieważ, gdy x jest bardzo blisko liczby 0, możemy przyjąć nawet, że \(x=0\), to funkcja \(f(x)=x\), która jest ciągła w punkcie \(x=0\), przyjmuje wartość równą zero, \(f(0)=0\). Zatem wartością granicy jest \(g=0\).Na poniższym rysunku widać jak funkcja \(f(x)=x\) dąży do 0, gdy \(x\to 0\):ZASADA 1: Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.). UWAGA: Warunek \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) stanowi tak naprawdę ścisłą, matematyczną definicję funkcji ciągłej. Idea ciągłości funkcji jest jednak bardzo intuicyjna i spokojnie możesz na razie kojarzyć ciągłość z wykresem funkcji, który po prostu nie ma skoków, ani żadnych "dziur". Przykład 2Funkcja \(f(x)=x^2\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki, nie ma "dziur"), dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to x_0} x^2=x^2_0\]np. gdy \(x_0=2\), to \(\lim\limits_{x\to 2} x^2=2^2=4\)Przykład 3Funkcja \(f(x)=\sin(x)\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki), dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to x_0} \sin(x)=\sin(x_0)\]np. gdy \(x_0=0\), to \(\lim\limits_{x\to 0} \sin(x)=\sin(0)=0\)CIEKAWOSTKA: Granice funkcji, podobnie jak całki nieoznaczone i oznaczone oraz pochodne funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy Definicja Heinego granicyDefinicja jest taka sama w przypadku granicy właściwej i niewłaściwej (czyli gdy granica \(g\) jest liczbą lub nieskończonością):Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\) (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczbowego \(x_n\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\,\,\Rightarrow\,\,\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=g\]gdzie \(g\) jest liczbą rzeczywistą lub \(\pm \infty\). PrzykładKorzystając z definicji Heinego wykażemy, że\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]Weźmy dowolny ciąg \(x_n\to 0\), gdy \(n\to \infty\), taki, że \(x_n\in (-R,0)\cup (0,R)\), dla pewnego \(R>0\) np. \(x_n=\frac{1}{n}\) oraz \(f(x)=x\), wtedy:\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\]zatem \(\lim\limits_{x\to 0} x=0\). Definicja Cauchy'ego granicyW przypadku granicy właściwej definicja wygląda następująco:Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\in\mathbb{R}\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[|x-x_0|0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(\pm\infty\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[|x-x_0|\epsilon\]którą należy rozumieć następująco: jeżeli \(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta)\), to wartość funkcji \(f(x)\) jest większa od \(\epsilon>0\) (wartość jest dowolnie duża). PrzykładKorzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty\]Ustalmy \(\epsilon>0\) i weźmy \(0\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\]ponieważ \(\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}\), gdy \(|x|\epsilon\), gdy \(\delta\epsilon\), a więc \(\frac{1}{x^2}\to +\infty\), gdy \(x\to 0\).Na poniższym rysunku widać, że funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) "ucieka" do \(+\infty\) i nigdy nie dotknie osi OY, co więcej dla \(|x-x_0|\epsilon\):2. Jak liczyć granice funkcji? Własności granic funkcji - reguły liczeniaJeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0}(x+\sin(x))=\lim\limits_{x\to 0}x+\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0+\sin(0)=0\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 1}2x^2=2\lim\limits_{x\to 1}x^2=2\cdot 1^2=2\]Przykład 3\[\lim\limits_{x\to \pi}x\sin(x)=\big(\lim\limits_{x\to \pi}x\big)\cdot \big(\lim\limits_{x\to \pi}\sin(x)\big)=\pi\cdot \sin(\pi)=\pi\cdot 0=0\]Przykład 4\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x+1}{\cos(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to 0}(x+1)}{\lim\limits_{x\to 0}\cos(x)}=\frac{0+1}{1}=1\]Przykład 5\[\lim\limits_{x\to 0}e^{\sin(x)}=\big(\lim\limits_{x\to 0}e\big)^{\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)}=e^{\sin(0)}=e^0=1\]ZASADA 2: Granice skomlikowanych funkcji złożonych będących sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem lub potęgą funkcji, możesz niemal zawsze rozbić na granice prostszych wyrażeń. Takie granice liczy się znacznie łatwiej! Granice funkcji - wzoryJeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) (oznacza to, że można narysować wykres tej funkcji przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki), to:\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\]Przykład 1Dla każdego \(a\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} x^2=a^2\]np. gdy \(a=1\), to\[\lim\limits_{x\to 1} x^2=1^2=1\]Przykład 2Dla każdego \(a>0\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} \ln x=\ln a\]np. gdy \(a=2\), to\[\lim\limits_{x\to 2} \ln x=\ln 2\]Przykład 3Dla każdego \(a\neq -1\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{a^2+2a-1}{a+1}\]np. gdy \(a=0\), to\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{0^2+2\cdot0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1\]Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją różniczkowalną (mającą pochodną), np. \(f(x)=x\), wtedy prawdziwe są poniższe wzory:Granice z funkcji trygonometrycznych:\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\sin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{tg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{arctg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\arcsin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\big(x\big)}{x}=1\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{tg\big(x\big)}{x}=1\]Granice z logarytmami:\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a>0\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\big(1+f(x)\big)^a-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a\in\mathbb{R}\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\log_a \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=\log_a e,\,\,\,gdy\,\,\,a>0,\,a\neq 1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\ln \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=1\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln \big(1+x\big)}{x}=1\]Granice z liczbą e:\[\lim\limits_{f(x)\to\pm \infty} \left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e\]UWAGA: Powyższe wzory można wyprowadzić używając reguły de L' Granice jednostronneGranicę prawostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)\]Zauważ, że \(x\to x^+_0\) (jest tu mały "plusik" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z prawej strony, czyli po wartościach większych niż \(x_0\).PrzykładDla przykładu, gdy \(x\to 1^+\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę większą od 1, np. x=1, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=1,001, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{1,001}\approx 2\), dlatego:\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}=2\]Natomiast granicę lewostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)\]Zauważ, że \(x\to x^-_0\) (jest tu mały "minus" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z lewej strony, czyli po wartościach mniejszych niż \(x_0\).PrzykładGdy \(x\to 1^-\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę mniejszą od 1, np. x=0, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=0,999, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{0,999}\approx 2\), dlatego:\[\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}=2\]Poniżej możesz zobaczyć rysunek ilustrujący ideę granic jednostronnych:Inne przykłady:\[\lim\limits_{x\to -2^-}\big(3x^3+2x+1\big)=3(-2)^3+2(-2)+1=-27\]\[\lim\limits_{x\to \sqrt{2}^-}x=\sqrt{2}\]\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=2\]\[\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1\]Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)=g\]wówczas piszemy\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]Powyższy warunek jest warunkeim koniecznym i dostatecznym istnienia granicy Powyższy warunek stosuje się do znajdowania granic funkcji określonych przez wartość bezwzględną lub za pomocą kilku wzorów. Można go też użyć do wykazania, że granica funkcji nie Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań:1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istniejePrzykładNiech funkcja f(x) będzie określona następująco:\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x,&\textrm{gdy}&x0\]oraz\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=g\]to:\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g\]UWAGA 1: Twierdzenie jest prawdziwe również dla granic właściwych jednostronnych oraz dla granic właściwych w 2: Nierówność \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) musi być spełniona jedynie w otoczniu punktu \(x_0\) (nie musi być spełniona dla wszystkich \(x\))Przykład:Chcemy obliczyć granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=?\]Zauważmy, że dla wszystkich \(x\in \mathbb{R}\):\[\frac{-1}{x^2}\le \frac{\sin x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}\]ponieważ \(\sin(x)\in[-1,1]\), ponadto:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0\]Zatem z Twierdzenia o 3 funkcjach mamy:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\]Przykłady funkcji występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 funkcjach:\[-1\le \sin x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le \cos x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, x\le \frac{\pi}{2},\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[0\le arcctg\, x\le \pi,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le sgn(x)\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[x-1\le E(x)=\lfloor{x}\rfloor\le x,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]gdzie \(sgn(x)\) to funkcja signum, czyli\[sgn(x)=\left\{\begin{array}{cc}1,&\textrm{dla}\,\,\,x>0\\0,&\textrm{dla}\,\,\,x=0\\-1,&\textrm{dla}\,\,\,x0Inne przykłady:\(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+1}{\sin(x)+2x}\)wpiszesz za pomocą polecenialim (x^2+1)/(sinx+2x) as x->2\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x+1}\)wpiszesz za pomocą polecenialim lnx/(x+1) as x->infZobacz również kalkulator granic funkcji jednej zmiennej mojego Podsumowanie - zasady ułatwiające liczenie granic funkcjiGranica funkcji ciągłej w punkcie, w którym liczymy granicę, jest równa wartości funkcji w tym punkcie. Licząc granice warto narysować pomocniczy wykres funkcji, na którym widać "kiedy i do czego funkcja dąży".Reguły liczenia granic pozwalają rozbijać granice skomplikowanych funkcji na sumy, różnice, iloczyny lub ilorazy granic prostszych funkcji - to znacznie ułatwia liczenieDo liczenia granic wyrażeń nieoznaczonych typu \(\left[\frac{0}{0}\right]\), \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) niezbędne są wzory, których należy nauczyć się na pamięć lub stosowanie reguły de L' Sprawdź swoją wiedzę o graniach funkcji - zadania kontrolne1. Oblicz granicę funkcji\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\]Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=1+1=2\]2. Oblicz granicę funkcji\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}\]Zastosujemy reguły liczenia granic funkcji, czyli fakt, że granica ilorazu jest ilorazem granic oraz ciągłość funkcji występujących w granicy:\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}=\frac{3+0}{0-1}=-3\]3. Oblicz granicę funkcji przy użyciu reguły de L'Hospitala:\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}\]\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{(2^x-1)'}{x'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^x \ln 2-0}{1}=2^0\cdot \ln 2=\ln 2\]Zrób kolejny krok i ucz się granic funkcji na przykładach

jak liczyć granice ciągu